100! 의 자리수를 모두 더하면?
n! 이라는 표기법은 n × (n − 1) × ... × 3 × 2 × 1을 뜻합니다.
예를 들자면 10! = 10 × 9 × ... × 3 × 2 × 1 = 3628800 이 되는데,
여기서 10!의 각 자리수를 더해 보면 3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27 입니다.
100! 의 자리수를 모두 더하면 얼마입니까?
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본 문항은 Project Euler 사이트에 영문으로 수록된 것을 한글로 변역한 Project Euler @ kr의 문항입니다.
20세기에서, 매월 1일이 일요일인 경우는 몇 번?
다음은 달력에 관한 몇 가지 일반적인 정보입니다 (필요한 경우 좀 더 연구를 해 보셔도 좋습니다).
20세기 (1901년 1월 1일 ~ 2000년 12월 31일) 에서, 매월 1일이 일요일인 경우는 총 몇 번입니까?
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삼각형을 따라 내려가면서 합이 최대가 되는 경로 찾기
다음과 같이 삼각형 모양으로 숫자를 배열했습니다.
3
7 4
2 4 6
8 5 9 3
삼각형의 꼭대기부터 아래쪽으로 인접한 숫자를 찾아 내려가면서 합을 구하면, 위의 그림처럼 3 + 7 + 4 + 9 = 23 이 가장 큰 합을 갖는 경로가 됩니다.
다음 삼각형에서 합이 최대가 되는 경로를 찾아서 그 합을 구하세요.
75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23
참고: 여기서는 경로가 16384개밖에 안되기 때문에, 모든 경로의 합을 일일이 계산해서 답을 구하는 것이 가능합니다.
하지만 67번 문제에는 100층짜리 삼각형 배열이 나옵니다. 그런 경우에는 좀 더 현명한 풀이 방법을 찾아야겠지요.
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1부터 1000까지 영어로 썼을 때 사용된 글자의 개수는?
1부터 5까지의 숫자를 영어로 쓰면 one, two, three, four, five 이고,
각 단어의 길이를 더하면 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 이므로 사용된 글자는 모두 19개입니다.
1부터 1,000까지 영어로 썼을 때는 모두 몇 개의 글자를 사용해야 할까요?
참고: 빈 칸이나 하이픈('-')은 셈에서 제외하며, 단어 사이의 and 는 셈에 넣습니다.
예를 들어 342를 영어로 쓰면 three hundred and forty-two 가 되어서 23 글자,
115 = one hundred and fifteen 의 경우에는 20 글자가 됩니다.
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2^1000의 각 자리수를 모두 더하면?
215 = 32768 의 각 자리수를 더하면 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26 입니다.
21000의 각 자리수를 모두 더하면 얼마입니까?
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20×20 격자의 좌상단에서 우하단으로 가는 경로의 수
아래와 같은 2 × 2 격자의 왼쪽 위 모서리에서 출발하여 오른쪽 아래 모서리까지 도달하는 길은 모두 6가지가 있습니다 (거슬러 가지는 않기로 합니다).
그러면 20 × 20 격자에는 모두 몇 개의 경로가 있습니까?
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백만 이하로 시작하는 우박수 중 가장 긴 과정을 거치는 것은?
양의 정수 n에 대하여, 다음과 같은 계산 과정을 반복하기로 합니다.
n → n / 2 (n이 짝수일 때)
n → 3 n + 1 (n이 홀수일 때)
13에 대하여 위의 규칙을 적용해보면 아래처럼 10번의 과정을 통해 1이 됩니다.
13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
아직 증명은 되지 않았지만, 이런 과정을 거치면 어떤 수로 시작해도 마지막에는 1로 끝나리라 생각됩니다.
(역주: 이것은 콜라츠 추측 Collatz Conjecture이라고 하며, 이런 수들을 우박수 hailstone sequence라 부르기도 합니다)
그러면, 백만(1,000,000) 이하의 수로 시작했을 때 1까지 도달하는데 가장 긴 과정을 거치는 숫자는 얼마입니까?
참고: 계산 과정 도중에는 숫자가 백만을 넘어가도 괜찮습니다.
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50자리 숫자 100개를 더한 값의 첫 10자리 구하기
아래에 50자리 숫자가 100개 있습니다. 이것을 모두 더한 값의 첫 10자리는 얼마입니까?
37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690
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본 문항은 Project Euler 사이트에 영문으로 수록된 것을 한글로 변역한 Project Euler @ kr의 문항입니다.
500개 이상의 약수를 갖는 가장 작은 삼각수는?
1부터 n까지의 자연수를 차례로 더하여 구해진 값을 삼각수라고 합니다.
예를 들어 7번째 삼각수는 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28이 됩니다.
이런 식으로 삼각수를 구해 나가면 다음과 같습니다.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
이 삼각수들의 약수를 구해봅시다.
1: 1
3: 1, 3
6: 1, 2, 3, 6
10: 1, 2, 5, 10
15: 1, 3, 5, 15
21: 1, 3, 7, 21
28: 1, 2, 4, 7, 14, 28
위에서 보듯이, 5개 이상의 약수를 갖는 첫번째 삼각수는 28입니다.
그러면 500개 이상의 약수를 갖는 가장 작은 삼각수는 얼마입니까?
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20×20 격자에서 연속된 네 숫자의 곱 중 최대값
아래와 같은 20×20 격자가 있습니다.
08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48
위에서 대각선 방향으로 연속된 붉은 숫자 네 개의 곱은 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696 입니다.
그러면 수평, 수직, 또는 대각선 방향으로 연속된 숫자 네 개의 곱 중 최대값은 얼마입니까?
Source Code (Github)
본 문항은 Project Euler 사이트에 영문으로 수록된 것을 한글로 변역한 Project Euler @ kr의 문항입니다.
